Geometric integration Research Group





 

Complex coefficients of several splitting and composition methods for integrating in time several linear and nonlinear evolution equations


In the paper

S. Blanes, F. Casas, P. Chartier, A. Murua, Splitting methods with complex coefficients for some classes of evolution equations



we propose different composition and splitting methods with complex coefficients having positive real part. We collect here the relevant parameters of all of them.




Splitting methods of the form   exp(h b_0 B) exp(h a_1 A) exp(h b_1 B) ··· exp(h a_s A) exp(h b_s B)


Order 4
   a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 1/4
                       b_0 = b_4 = 1/10 - i/30
                       b_1 = b_3 = 4/15 + 2 i/15
                                 b_2 = 4/15 - i/5

Order 4 (optimized)
   a_1 = a_4 = 0.185968819599109131400000000000000000000000000
   a_2 = a_3 = 0.314031180400890868600000000000000000000000000                   
   b_0 = b_4 = 0.06007827526354235777199358734447761571080694 + 0.06031484125337852304123585231872038908612175 i   
   b_1 = b_3 = 0.270211839133610781613704905790363119503870463-0.15290393229116195894817568499361382971906686 i           
             b_2 = 0.33941977120569372122860301373031852957064519 +0.1851781820755668718138796653497868812658902 i                          

Order 4 (optimized in a different way)
   a_1 = a_4 = 0.2007985097913351627653818313745923973747
   a_2 = a_3 = 0.2992014902086648372346181686254076026253                   
   b_0 = b_4 = 0.070431545783977987350647452400154568734 + 0.051850394305783607229541007298654952516 i  
   b_1 = b_3 = 0.268748531802577892690175982141419324649 - 0.144798668253875967486489937246452751001 i           
             b_2 = 0.321639844826888239918353130916852213235 + 0.185896547896184720513897859895595596969 i                          


Order 6
   a_1 = a_2 = ··· = a_8 = 1/16
               b_0 = b_{16}  = 0.0246948760870180646409108649968422478386 - 0.0078747955629068770581715779495269421632 i
               b_1 = b_{15}  = 0.0638134740213026997793663041882001469632 +0.0353657610341433278046294046497147418127 i
               b_2 = b_{14}  = 0.0684250940303164419703970078217446840585 - 0.0622622444507486769953325406444475960461 i
               b_3 = b_{13}  = 0.0880477010922678376269971958694086675772 +0.04547387150229870438376254918797742644469 i
               b_4 = b_{12}  = 0.02368961112984706069614191247000936432533 +0.00962432606408962405769803529063730666395 i
               b_5 = b_{11}  = 0.04272972238677338220296430057707421855388 -0.03399440392395761055408394845784435826499 i
               b_6 = b_{10}  = 0.1223346863168457729604285170019625630788 - 0.01043585907975251066938082710059054955178 i
                  b_7 = b_9   = 0.04189843282969388604353685060726223976426 +0.0693624926316963842751581743071442621303 i
                              b_8 = 0.0487328042118697081585140929349917356808 - 0.0905182964297247304885585385661285820513 i





Composition methods  of the form  ψ(h) = S(γ_1 h) ··· S(γ_s h),  with S(h) the Strang splitting

  Order 6
     γ_1 = γ_7 =  0.116900037554661284389 + 0.043428254616060341762 i
    
γ_2 = γ_6 =  0.12955910128208826275  - 0.12398961218809259330 i
    
γ_3 = γ_5 =  0.18653249281213381780  + 0.00310743071007267534 i
    
γ_1           =  0.134016736702233270122 + 0.154907853723919152396 i

  Order 8
    
γ_1 = γ_{15} =  0.053475778387618596606 + 0.006169356340079532510 i
    
γ_2 = γ_{14} =  0.041276342845804256647 - 0.069948574390707814951 i
    
γ_3 = γ_{13} =  0.086533558604675710289 - 0.023112501636914874384 i
    
γ_4 = γ_{12} =  0.079648855663021043369 + 0.049780495455654338124 i
    
γ_5 = γ_{11} =  0.069981052846323122899 - 0.052623937841590541286 i
    
γ_6 = γ_{10} =  0.087295480759955219242 + 0.010035268644688733950 i
    
γ_7 = γ_9     =  0.042812886419632082126 + 0.076059456458843523862 i
    
γ_8               =  0.077952088945939937643 + 0.007280873939894204350 i

 
Order 16     s=315
  List of coefficients
γ_1, γ_2, ..., γ_s
0.0018421866340337539928 - 0.0019032246191181889273 i,
0.0036317371942220716574 +0.0001350483153517669767 i,
0.0024280704453259776778 +0.0028498891005216708826 i,
0.0033117155549993319995 - 0.0019602161401480322905 i,
0.0036710893027629853429 +0.0012221233761707436575 i,
0.0017004797849460754421 - 0.0032921047459268412979 i,
0.0034523820915275505685 - 0.0009014939264809816353 i,
0.0025219776305981018078 +0.0016770809943090606083 i,
0.0034523820915275505685 - 0.0009014939264809816353 i,
0.0017004797849460754421 - 0.0032921047459268412979 i,
0.0036710893027629853429 +0.0012221233761707436575 i,
0.0033117155549993319995 - 0.0019602161401480322905 i,
0.0024280704453259776778 +0.0028498891005216708826 i,
0.0036317371942220716574 +0.0001350483153517669767 i,
0.0018421866340337539928 - 0.0019032246191181889273 i,
0.0012333227005938429793 - 0.0025260397430124819255 i,
0.0037091100254167542115 - 0.0010574850476058504655 i,
0.0033868860017468178795 +0.0020776588148462779005 i,
0.0026974641307496013011 - 0.0030665861569059488102 i,
0.0041061434257478026149 +0.0000265273238016042258 i,
0.0006338010358758089714 - 0.0038809538445576173525 i,
0.0031874124192415381706 - 0.0020444863935469467271 i,
0.0030961414729020238447 +0.0008633321842934632657 i,
0.0031874124192415381706 - 0.0020444863935469467271 i,
0.0006338010358758089714 - 0.0038809538445576173525 i,
0.0041061434257478026149 +0.0000265273238016042258 i,
0.0026974641307496013011 - 0.0030665861569059488102 i,
0.0033868860017468178795 +0.0020776588148462779005 i,
0.0037091100254167542115 - 0.0010574850476058504655 i,
0.0012333227005938429793 - 0.0025260397430124819255 i,
0.0025875112920884612205 - 0.0016316197361386437656 i,
0.0040379561357913007021 +0.0011448147804265394082 i,
0.0019449000795428546724 +0.0038617228847244890884 i,
0.0042519436193811429672 - 0.0012936463863351362595 i,
0.0037847928681029220135 +0.0023753007217876597222 i,
0.0028083744992251625458 - 0.0032287320873637945551 i,
0.0041202120162856507118 - 0.0000672632859646255538 i,
0.0023710314818138390828 +0.0025714891942610754940 i,
0.0041202120162856507118 - 0.0000672632859646255538 i,
0.0028083744992251625458 - 0.0032287320873637945551 i,
0.0037847928681029220135 +0.0023753007217876597222 i,
0.0042519436193811429672 - 0.0012936463863351362595 i,
0.0019449000795428546724 +0.0038617228847244890884 i,
0.0040379561357913007021 +0.0011448147804265394082 i,
0.0025875112920884612205 - 0.0016316197361386437656 i,
0.0021238403716984436005 - 0.0024325325039144747568 i,
0.0044302404820377890579 - 0.0000628356270637918136 i,
0.0031346127119429402114 + 0.0033179164468741862794 i,
0.0039094860012324060670 - 0.0025938804532794875744 i,
0.0045461789794511499022 +0.0012582604962764599418 i,
0.0018643947657358253565 - 0.0041146836908099611236 i,
0.0041470047562713175278 - 0.0013136450221873254592 i,
0.0031755579922863229856 +0.0018840978693366840328 i,
0.0041470047562713175278 - 0.0013136450221873254592 i,
0.0018643947657358253565 - 0.0041146836908099611236 i,
0.0045461789794511499022 +0.0012582604962764599418 i,
0.0039094860012324060670 - 0.0025938804532794875744 i,
0.0031346127119429402114 + 0.0033179164468741862794 i,
0.0044302404820377890579 - 0.0000628356270637918136 i,
0.0021238403716984436005 - 0.0024325325039144747568 i,
0.0030253971670355808604 - 0.0010054801370437042686 i,
0.0038004102224883755865 +0.0021658877571903172457 i,
0.0010045834706559573291 +0.0043929413289451996585 i,
0.0046253248590867180922 - 0.0002482182942763579066 i,
0.0032372348908640998544 +0.0033478618577584678954 i,
0.0036473586347517122248 - 0.0025665044916505947422 i,
0.0041860506366969469741 +0.0009599004824898228614 i,
0.0017576930181577689710 +0.0031936624616391240252 i,
0.0041860506366969469741 +0.0009599004824898228614 i,
0.0036473586347517122248 - 0.0025665044916505947422 i,
0.0032372348908640998544 +0.0033478618577584678954 i,
0.0046253248590867180922 - 0.0002482182942763579066 i,
0.0010045834706559573291 +0.0043929413289451996585 i,
0.0038004102224883755865 +0.0021658877571903172457 i,
0.0030253971670355808604 - 0.0010054801370437042686 i,
0.0027270723910027234499 - 0.0018418612766831689345 i,
0.0043805110892853294727 +0.0010944748698739876920 i,
0.0022217861083816939248 +0.0040865799555553350974 i,
0.0045281782378912841577 - 0.0015347151054058126013 i,
0.0041498890837927104946 +0.0024261129007580968548 i,
0.0029105713055659402454 - 0.0035666228072352680503 i,
0.0044279870263802865021 - 0.0002115931987116579921 i,
0.0026363726628913452892 +0.0026848515804019144864 i,
0.0044279870263802865021 - 0.0002115931987116579921 i,
0.0029105713055659402454 - 0.0035666228072352680503 i,
0.0041498890837927104946 +0.0024261129007580968548 i,
0.0045281782378912841577 - 0.0015347151054058126013 i,
0.0022217861083816939248 +0.0040865799555553350974 i,
0.0043805110892853294727 +0.0010944748698739876920 i,
0.0027270723910027234499 - 0.0018418612766831689345 i,
0.0014606772962611110351 -  0.0025610776408280103657 i,
0.0039533464212895236444 - 0.0008575638598531971397 i,
0.0034053649835638123298 +0.0024022896324167445996 i,
0.0030295035320268339889 - 0.0030284543723427815848 i,
0.0042960587439378792908 +0.0003037411597264327848 i,
0.0009242308039767152123 - 0.0040195409403793616113 i,
0.0034736297093840243235 - 0.0019257075516645340725 i,
0.0031826621726621892310 + 0.0011117302533280619891 i,
0.0034736297093840243235 - 0.0019257075516645340725 i,
0.0009242308039767152123 - 0.0040195409403793616113 i,
0.0042960587439378792908 +0.0003037411597264327848 i,
0.0030295035320268339889 - 0.0030284543723427815848 i,
0.0034053649835638123298 +0.0024022896324167445996 i,
0.0039533464212895236444 - 0.0008575638598531971397 i,
0.0014606772962611110351 -  0.0025610776408280103657 i,
0.0030302614033645952612 - 0.0003621512282408939798 i,
0.0031482567292295591811 +0.0027607589982900857449 i,
0.0000987788728606524006 +0.0043125807597633550234 i,
0.0043853098547627648620 +0.0006551564799018083506 i,
0.0023932003429642815094 +0.0037611073059533304519 i,
0.0039132151836285035519 - 0.0017066898948557168291 i,
0.0037414296358028276412 +0.0017038090875185141636 i,
0.0010352788047421896783 +0.0033324661607429762850 i,
0.0037414296358028276412 +0.0017038090875185141636 i,
0.0039132151836285035519 - 0.0017066898948557168291 i,
0.0023932003429642815094 +0.0037611073059533304519 i,
0.0043853098547627648620 +0.0006551564799018083506 i,
0.0000987788728606524006 +0.0043125807597633550234 i,
0.0031482567292295591811 +0.0027607589982900857449 i,
0.0030302614033645952612 - 0.0003621512282408939798 i,
0.0025665408005940792165 - 0.0017851823293154551586 i,
0.0041754607408946689836 +0.0009826005641065317093 i,
0.0021638008127674303752 +0.0038530336975211444198 i,
0.0042814759250272386674 - 0.0015168823570196615971 i,
0.0039737364527621343446 +0.0022505747929440429825 i,
0.0027183787379098291328 - 0.0034259841858680339939 i,
0.0042035414065984948915 - 0.0002586974339710824227 i,
0.0025393661154160667408 + 0.0025160811173554252076 i,
0.0042035414065984948915 - 0.0002586974339710824227 i,
0.0027183787379098291328 - 0.0034259841858680339939 i,
0.0039737364527621343446 +0.0022505747929440429825 i,
0.0042814759250272386674 - 0.0015168823570196615971 i,
0.0021638008127674303752 +0.0038530336975211444198 i,
0.0041754607408946689836 +0.0009826005641065317093 i,
0.0025665408005940792165 - 0.0017851823293154551586 i,
0.0021142903173573924055 - 0.0022364182750675911152 i,
0.0042213194354792132419 +0.0001072459137629612846 i,
0.0028599801689362360456 +0.0032778961533250467091 i,
0.0038208585613955167555 - 0.0023227261748626536182 i,
0.0042819038871590522773 +0.0013697077499490721075 i,
0.0019306600682965330127 - 0.0038481277365600482223 i,
0.0039987658042308806337 - 0.0010945909171037990036 i,
0.0029530485397937023224 +0.0019140047281616990577 i,
0.0039987658042308806337 - 0.0010945909171037990036 i,
0.0019306600682965330127 - 0.0038481277365600482223 i,
0.0042819038871590522773 +0.0013697077499490721075 i,
0.0038208585613955167555 - 0.0023227261748626536182 i,
0.0028599801689362360456 +0.0032778961533250467091 i,
0.0042213194354792132419 +0.0001072459137629612846 i,
0.0021142903173573924055 -  0.0022364182750675911152 i,
0.0031702029081714823742 -  0.0012377611952542036533 i,
0.0041702689393649934423 +0.0021006914467575158731 i,
0.0013117675450963571500 +0.0046281649572012470877 i,
0.0049173649747367543874 - 0.0005181591338773710821 i,
0.0036346685983261757337 +0.0033916422154237083548 i,
0.0037476963014201466085 - 0.0029360326282351965980 i,
0.0045152863835377877750 +0.0007938723085856291644 i,
0.0020489045868918141488 +0.0033083546142096519366 i,
0.0045152863835377877750 +0.0007938723085856291644 i,
0.0037476963014201466085 - 0.0029360326282351965980 i,
0.0036346685983261757337 +0.0033916422154237083548 i,
0.0049173649747367543874 - 0.0005181591338773710821 i,
0.0013117675450963571500 +0.0046281649572012470877 i,
0.0041702689393649934423 +0.0021006914467575158731 i,
0.0031702029081714823742 - 0.0012377611952542036533 i,
0.0021142903173573924055 - 0.0022364182750675911152 i,
0.0042213194354792132419 +0.0001072459137629612846 i,
0.0028599801689362360456 +0.0032778961533250467091 i,
0.0038208585613955167555 - 0.0023227261748626536182 i,
0.0042819038871590522773 +0.0013697077499490721075 i,
0.0019306600682965330127 - 0.0038481277365600482223 i,
0.0039987658042308806337 - 0.0010945909171037990036 i,
0.0029530485397937023224 +0.0019140047281616990577 i,
0.0039987658042308806337 - 0.0010945909171037990036 i,
0.0019306600682965330127 - 0.0038481277365600482223 i,
0.0042819038871590522773 +0.0013697077499490721075 i,
0.0038208585613955167555 - 0.0023227261748626536182 i,
0.0028599801689362360456 +0.0032778961533250467091 i,
0.0042213194354792132419 +0.0001072459137629612846 i,
0.0021142903173573924055 -  0.0022364182750675911152 i,
0.0025665408005940792165 - 0.0017851823293154551586 i,
0.0041754607408946689836 +0.0009826005641065317093 i,
0.0021638008127674303752 +0.0038530336975211444198 i,
0.0042814759250272386674 - 0.0015168823570196615971 i,
0.0039737364527621343446 +0.0022505747929440429825 i,
0.0027183787379098291328 - 0.0034259841858680339939 i,
0.0042035414065984948915 - 0.0002586974339710824227 i,
0.0025393661154160667408 + 0.0025160811173554252076 i,
0.0042035414065984948915 - 0.0002586974339710824227 i,
0.0027183787379098291328 - 0.0034259841858680339939 i,
0.0039737364527621343446 +0.0022505747929440429825 i,
0.0042814759250272386674 - 0.0015168823570196615971 i,
0.0021638008127674303752 +0.0038530336975211444198 i,
0.0041754607408946689836 +0.0009826005641065317093 i,
0.0025665408005940792165 - 0.0017851823293154551586 i,
0.0030302614033645952612 - 0.0003621512282408939798 i,
0.0031482567292295591811 +0.0027607589982900857449 i,
0.0000987788728606524006 +0.0043125807597633550234 i,
0.0043853098547627648620 +0.0006551564799018083506 i,
0.0023932003429642815094 +0.0037611073059533304519 i,
0.0039132151836285035519 - 0.0017066898948557168291 i,
0.0037414296358028276412 +0.0017038090875185141636 i,
0.0010352788047421896783 +0.0033324661607429762850 i,
0.0037414296358028276412 +0.0017038090875185141636 i,
0.0039132151836285035519 - 0.0017066898948557168291 i,
0.0023932003429642815094 +0.0037611073059533304519 i,
0.0043853098547627648620 +0.0006551564799018083506 i,
0.0000987788728606524006 +0.0043125807597633550234 i,
0.0031482567292295591811 +0.0027607589982900857449 i,
0.0030302614033645952612 - 0.0003621512282408939798 i,
0.0014606772962611110351 - 0.0025610776408280103657 i,
0.0039533464212895236444 - 0.0008575638598531971397 i,
0.0034053649835638123298 +0.0024022896324167445996 i,
0.0030295035320268339889 - 0.0030284543723427815848 i,
0.0042960587439378792908 +0.0003037411597264327848 i,
0.0009242308039767152123 - 0.0040195409403793616113 i,
0.0034736297093840243235 - 0.0019257075516645340725 i,
0.0031826621726621892310 +0.0011117302533280619891 i,
0.0034736297093840243235 - 0.0019257075516645340725 i,
0.0009242308039767152123 - 0.0040195409403793616113 i,
0.0042960587439378792908 +0.0003037411597264327848 i,
0.0030295035320268339889 - 0.0030284543723427815848 i,
0.0034053649835638123298 +0.0024022896324167445996 i,
0.0039533464212895236444 - 0.0008575638598531971397 i,
0.0014606772962611110351 - 0.0025610776408280103657 i,
0.0027270723910027234499 - 0.0018418612766831689345 i,
0.0043805110892853294727 +0.0010944748698739876920 i,
0.0022217861083816939248 +0.0040865799555553350974 i,
0.0045281782378912841577 - 0.0015347151054058126013 i,
0.0041498890837927104946 +0.0024261129007580968548 i,
0.0029105713055659402454 - 0.0035666228072352680503 i,
0.0044279870263802865021 - 0.0002115931987116579921 i,
0.0026363726628913452892 +0.0026848515804019144864 i,
0.0044279870263802865021 - 0.0002115931987116579921 i,
0.0029105713055659402454 - 0.0035666228072352680503 i,
0.0041498890837927104946 +0.0024261129007580968548 i,
0.0045281782378912841577 - 0.0015347151054058126013 i,
0.0022217861083816939248 +0.0040865799555553350974 i,
0.0043805110892853294727 +0.0010944748698739876920 i,
0.0027270723910027234499 - 0.0018418612766831689345 i,
0.0030253971670355808604 - 0.0010054801370437042686 i,
0.0038004102224883755865 +0.0021658877571903172457 i,
0.0010045834706559573291 +0.0043929413289451996585 i,
0.0046253248590867180922 - 0.0002482182942763579066 i,
0.0032372348908640998544 +0.0033478618577584678954 i,
0.0036473586347517122248 - 0.0025665044916505947422 i,
0.0041860506366969469741 +0.0009599004824898228614 i,
0.0017576930181577689710 +0.0031936624616391240252 i,
0.0041860506366969469741 +0.0009599004824898228614 i,
0.0036473586347517122248 - 0.0025665044916505947422 i,
0.0032372348908640998544 +0.0033478618577584678954 i,
0.0046253248590867180922 - 0.0002482182942763579066 i,
0.0010045834706559573291 +0.0043929413289451996585 i,
0.0038004102224883755865 +0.0021658877571903172457 i,
0.0030253971670355808604 - 0.0010054801370437042686 i,
0.0021238403716984436005 - 0.0024325325039144747568 i,
0.0044302404820377890579 - 0.0000628356270637918136 i,
0.0031346127119429402114 + 0.0033179164468741862794 i,
0.0039094860012324060670 - 0.0025938804532794875744 i,
0.0045461789794511499022 +0.0012582604962764599418 i,
0.0018643947657358253565 - 0.0041146836908099611236 i,
0.0041470047562713175278 - 0.0013136450221873254592 i,
0.0031755579922863229856 +0.0018840978693366840328 i,
0.0041470047562713175278 - 0.0013136450221873254592 i,
0.0018643947657358253565 - 0.0041146836908099611236 i,
0.0045461789794511499022 +0.0012582604962764599418 i,
0.0039094860012324060670 - 0.0025938804532794875744 i,
0.0031346127119429402114 +0.0033179164468741862794 i,
0.0044302404820377890579 - 0.0000628356270637918136 i,
0.0021238403716984436005 - 0.0024325325039144747568 i,
0.0025875112920884612205 - 0.0016316197361386437656 i,
0.0040379561357913007021 +0.0011448147804265394082 i,
0.0019449000795428546724 +0.0038617228847244890884 i,
0.0042519436193811429672 - 0.0012936463863351362595 i,
0.0037847928681029220135 +0.0023753007217876597222 i,
0.0028083744992251625458 - 0.0032287320873637945551 i,
0.0041202120162856507118 - 0.0000672632859646255538 i,
0.0023710314818138390828 +0.0025714891942610754940 i,
0.0041202120162856507118 - 0.0000672632859646255538 i,
0.0028083744992251625458 - 0.0032287320873637945551 i,
0.0037847928681029220135 +0.0023753007217876597222 i,
0.0042519436193811429672 - 0.0012936463863351362595 i,
0.0019449000795428546724 +0.0038617228847244890884 i,
0.0040379561357913007021 +0.0011448147804265394082 i,
0.0025875112920884612205 - 0.0016316197361386437656 i,
0.0012333227005938429793 - 0.0025260397430124819255 i,
0.0037091100254167542115 - 0.0010574850476058504655 i,
0.0033868860017468178795 +0.0020776588148462779005 i,
0.0026974641307496013011 - 0.0030665861569059488102 i,
0.0041061434257478026149 +0.0000265273238016042258 i,
0.0006338010358758089714 - 0.0038809538445576173525 i,
0.0031874124192415381706 - 0.0020444863935469467271 i,
0.0030961414729020238447 +0.0008633321842934632657 i,
0.0031874124192415381706 - 0.0020444863935469467271 i,
0.0006338010358758089714 - 0.0038809538445576173525 i,
0.0041061434257478026149 +0.0000265273238016042258 i,
0.0026974641307496013011 - 0.0030665861569059488102 i,
0.0033868860017468178795 +0.0020776588148462779005 i,
0.0037091100254167542115 - 0.0010574850476058504655 i,
0.0012333227005938429793 - 0.0025260397430124819255 i,
0.0018421866340337539928 - 0.0019032246191181889273 i,
0.0036317371942220716574 +0.0001350483153517669767 i,
0.0024280704453259776778 +0.0028498891005216708826 i,
0.0033117155549993319995 - 0.0019602161401480322905 i,
0.0036710893027629853429 +0.0012221233761707436575 i,
0.0017004797849460754421 - 0.0032921047459268412979 i,
0.0034523820915275505685 - 0.0009014939264809816353 i,
0.0025219776305981018078 +0.0016770809943090606083 i,
0.0034523820915275505685 - 0.0009014939264809816353 i,
0.0017004797849460754421 - 0.0032921047459268412979 i,
0.0036710893027629853429 +0.0012221233761707436575 i,
0.0033117155549993319995 - 0.0019602161401480322905 i,
0.0024280704453259776778 +0.0028498891005216708826 i,
0.0036317371942220716574 +0.0001350483153517669767 i,
0.0018421866340337539928 - 0.0019032246191181889273 i