Coefficients (Subscript[w, n]) in the series
(e^(Subscript[ad, Ω]))((∂_ϵ) H) = (∑_(n=0)^∞)(ϵ^n) (Subscript[w, n])(t)
in terms of (Subscript[H, i]),(Subscript[L, j])and their nested commutators up to n=9. With them we can carry out perturbative computations up to n=10.
For clarity, we denote here 
(Subscript[w, n])  by   w[n]
(Subscript[L, n])  by   L[n]
(Subscript[H, n])  by   H[n]
Cmt[L[i],L[j]] = [(Subscript[L, i]),(Subscript[L, j])] = (Subscript[L, i])(Subscript[L, j]) - (Subscript[L, j]) (Subscript[L, i])
etc.

w[0]=H[1];

w[1]=Cmt[L[1],H[1]]+2 H[2];

w[2]=(1/2) (Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]+4 Cmt[L[1],H[2]]+Cmt[L[2],H[1]]+6 H[3]);

w[3]=(1/12) (Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[2]]]+2 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]+12 Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[2]]]+3 Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[1]]]+36 Cmt[L[1],H[3]]+3 Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[1]]]+12 Cmt[L[2],H[2]]+4 Cmt[L[3],H[1]]+48 H[4]);

w[4]=(1/24) (2 Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[3]]]+4 Cmt[H[2],Cmt[L[1],L[2]]]+Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[2]]]]+Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]]+8 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[2]]]]+2 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[1]]]]+36 Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[3]]]+Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[1]]]]+12 Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[2]]]+4 Cmt[L[1],Cmt[L[3],H[1]]]+96 Cmt[L[1],H[4]]+3 Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]+12 Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[2]]]+3 Cmt[L[2],Cmt[L[2],H[1]]]+36 Cmt[L[2],H[3]]+4 Cmt[L[3],Cmt[L[1],H[1]]]+16 Cmt[L[3],H[2]]+6 Cmt[L[4],H[1]]+120 H[5]);

w[5]=(1/720) (-Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[2]]]]]-2 Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[3]]]]+54 Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[4]]]+3 Cmt[H[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],L[2]]]]+12 Cmt[H[1],Cmt[L[2],L[3]]]+120 Cmt[H[2],Cmt[L[1],L[3]]]+180 Cmt[H[3],Cmt[L[1],L[2]]]+30 Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[3]]]]+60 Cmt[L[1],Cmt[H[2],Cmt[L[1],L[2]]]]+10 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[2]]]]]+6 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]]]+60 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[2]]]]]+15 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[1]]]]]+360 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[3]]]]+5 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[1]]]]]+120 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[2]]]]+40 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[3],H[1]]]]+1440 Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[4]]]+15 Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]]+60 Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[2]]]]+15 Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[2],H[1]]]]+540 Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[3]]]+10 Cmt[L[1],Cmt[L[3],Cmt[L[1],H[1]]]]+240 Cmt[L[1],Cmt[L[3],H[2]]]+90 Cmt[L[1],Cmt[L[4],H[1]]]+3600 Cmt[L[1],H[5]]+15 Cmt[L[2],Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[2]]]]+25 Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]]+180 Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[2]]]]+45 Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[1]]]]+540 Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[3]]]+30 Cmt[L[2],Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[1]]]]+180 Cmt[L[2],Cmt[L[2],H[2]]]+60 Cmt[L[2],Cmt[L[3],H[1]]]+1440 Cmt[L[2],H[4]]+70 Cmt[L[3],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]+240 Cmt[L[3],Cmt[L[1],H[2]]]+60 Cmt[L[3],Cmt[L[2],H[1]]]+720 Cmt[L[3],H[3]]+90 Cmt[L[4],Cmt[L[1],H[1]]]+360 Cmt[L[4],H[2]]+144 Cmt[L[5],H[1]]+4320 H[6]);

w[6]=(1/1440)(Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[2]]]]]]-2 Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[3]]]]]-6 Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[4]]]]-2 Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],L[2]]]]]+2 Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],L[3]]]]+96 Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[5]]]+30 Cmt[H[1],Cmt[L[2],L[4]]]+10 Cmt[H[1],Cmt[L[3],Cmt[L[1],L[2]]]]-4 Cmt[H[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[2]]]]]-8 Cmt[H[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[3]]]]+216 Cmt[H[2],Cmt[L[1],L[4]]]+12 Cmt[H[2],Cmt[L[2],Cmt[L[1],L[2]]]]+48 Cmt[H[2],Cmt[L[2],L[3]]]+360 Cmt[H[3],Cmt[L[1],L[3]]]+480 Cmt[H[4],Cmt[L[1],L[2]]]-2 Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[2]]]]]]-2 Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[3]]]]]+54 Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[4]]]]+3 Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],L[2]]]]]+12 Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[2],L[3]]]]+120 Cmt[L[1],Cmt[H[2],Cmt[L[1],L[3]]]]+180 Cmt[L[1],Cmt[H[3],Cmt[L[1],L[2]]]]+20 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[3]]]]]+40 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[H[2],Cmt[L[1],L[2]]]]]+5 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[2]]]]]]+2 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]]]]+24 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[2]]]]]]+6 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[1]]]]]]+180 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[3]]]]]+Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[1]]]]]]+60 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[2]]]]]+20 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[3],H[1]]]]]+960 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[4]]]]+6 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]]]+20 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[2]]]]]+5 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[2],H[1]]]]]+360 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[3]]]]+2 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[3],Cmt[L[1],H[1]]]]]+160 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[3],H[2]]]]+60 Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[4],H[1]]]]+3600 Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[5]]]+5 Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[2]]]]]+6 Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]]]+60 Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[2]]]]]+15 Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[1]]]]]+180 Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[3]]]]+8 Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[1]]]]]+60 Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[2],H[2]]]]+20 Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[3],H[1]]]]+1440 Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[4]]]+16 Cmt[L[1],Cmt[L[3],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]]+40 Cmt[L[1],Cmt[L[3],Cmt[L[1],H[2]]]]+10 Cmt[L[1],Cmt[L[3],Cmt[L[2],H[1]]]]+720 Cmt[L[1],Cmt[L[3],H[3]]]+6 Cmt[L[1],Cmt[L[4],Cmt[L[1],H[1]]]]+360 Cmt[L[1],Cmt[L[4],H[2]]]+144 Cmt[L[1],Cmt[L[5],H[1]]]+8640 Cmt[L[1],H[6]]+30 Cmt[L[2],Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[3]]]]+60 Cmt[L[2],Cmt[H[2],Cmt[L[1],L[2]]]]+15 Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[2]]]]]+11 Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]]]+100 Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[2]]]]]+25 Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[1]]]]]+540 Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[3]]]]+9 Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[1]]]]]+180 Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[2]]]]+60 Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[3],H[1]]]]+1440 Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[4]]]+28 Cmt[L[2],Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]]+120 Cmt[L[2],Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[2]]]]+30 Cmt[L[2],Cmt[L[2],Cmt[L[2],H[1]]]]+540 Cmt[L[2],Cmt[L[2],H[3]]]+28 Cmt[L[2],Cmt[L[3],Cmt[L[1],H[1]]]]+240 Cmt[L[2],Cmt[L[3],H[2]]]+90 Cmt[L[2],Cmt[L[4],H[1]]]+3600 Cmt[L[2],H[5]]+20 Cmt[L[3],Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[2]]]]+42 Cmt[L[3],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]]+280 Cmt[L[3],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[2]]]]+70 Cmt[L[3],Cmt[L[1],Cmt[L[2],H[1]]]]+720 Cmt[L[3],Cmt[L[1],H[3]]]+52 Cmt[L[3],Cmt[L[2],Cmt[L[1],H[1]]]]+240 Cmt[L[3],Cmt[L[2],H[2]]]+80 Cmt[L[3],Cmt[L[3],H[1]]]+1920 Cmt[L[3],H[4]]+114 Cmt[L[4],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]+360 Cmt[L[4],Cmt[L[1],H[2]]]+90 Cmt[L[4],Cmt[L[2],H[1]]]+1080 Cmt[L[4],H[3]]+144 Cmt[L[5],Cmt[L[1],H[1]]]+576 Cmt[L[5],H[2]]+240 Cmt[L[6],H[1]]+10080 H[7]);

w[7]=(1/60480)(14 Cmt[Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[2]]]],Cmt[L[1],Cmt[L[1],H[1]]]]+2 Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[2]]]]]]]+46 Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[3]]]]]]-72 Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[4]]]]]+44 Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],L[2]]]]]]-76 Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],L[3]]]]]-288 Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[5]]]]-36 Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],L[4]]]]-120 Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[3],Cmt[L[1],L[2]]]]]+3600 Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[6]]]+13 Cmt[H[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[2]]]]]]-32 Cmt[H[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[3]]]]]-12 Cmt[H[1],Cmt[L[2],Cmt[L[2],Cmt[L[1],L[2]]]]]+12 Cmt[H[1],Cmt[L[2],Cmt[L[2],L[3]]]]+1296 Cmt[H[1],Cmt[L[2],L[5]]]+200 Cmt[H[1],Cmt[L[3],Cmt[L[1],L[3]]]]+360 Cmt[H[1],Cmt[L[3],L[4]]]+324 Cmt[H[1],Cmt[L[4],Cmt[L[1],L[2]]]]+84 Cmt[H[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[2]]]]]]-168 Cmt[H[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[3]]]]]-504 Cmt[H[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[4]]]]-168 Cmt[H[2],Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],L[2]]]]]+168 Cmt[H[2],Cmt[L[1],Cmt[L[2],L[3]]]]+8064 Cmt[H[2],Cmt[L[1],L[5]]]+2520 Cmt[H[2],Cmt[L[2],L[4]]]+840 Cmt[H[2],Cmt[L[3],Cmt[L[1],L[2]]]]-252 Cmt[H[3],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[2]]]]]-504 Cmt[H[3],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[3]]]]+13608 Cmt[H[3],Cmt[L[1],L[4]]]+756 Cmt[H[3],Cmt[L[2],Cmt[L[1],L[2]]]]+3024 Cmt[H[3],Cmt[L[2],L[3]]]+20160 Cmt[H[4],Cmt[L[1],L[3]]]+25200 Cmt[H[5],Cmt[L[1],L[2]]]+14 Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[2]]]]]]]-84 Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[3]]]]]]-126 Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[4]]]]]-84 Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],Cmt[L[1],L[2]]]]]]+42 Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],Cmt[L[2],L[3]]]]]+2016 Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[1],L[5]]]]+630 Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[2],L[4]]]]+210 Cmt[L[1],Cmt[H[1],Cmt[L[3],Cmt[L[1],L[2]]]]]-168 Cmt[L[1],Cmt[H[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[2]]]]]]-168 Cmt[L[1],Cmt[H[2],Cmt[L[1],Cmt[L[1],L[3]]]]]+4536 Cmt[L[1],Cmt[H[2],Cmt[L[1],L[4]]]]+252 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